Dưới đây, thầy/cô mathx.vn gửi đến các em học sinh một số bài toán hay về tính nhanh phân số kèm theo mẹo và cách giải chi tiết. Các em đọc kĩ, nếu có gì không hiểu hãy nhắn tin cho Fanpage Facebook Mathx để được các thầy cô giải đáp kĩ càng hơn
Một số bài toán về tính nhanh phân số
Bài 1: So sánh (dfrac {1}{9} - dfrac {1}{10}) và (dfrac {1}{9 times 10})
Giải
Ta có:
(dfrac {1}{9} - dfrac {1}{10} = dfrac {10}{9 times 10} - dfrac {9}{9 times 10} = dfrac {10-9}{9 times 10} = dfrac {1}{9 times 10})
Đáp số: (dfrac {1}{9} - dfrac {1}{10} = dfrac {1}{9 times 10})
Tương tự ta thử tính một phép tính khác:
(dfrac {1}{6} - dfrac {1}{7} = dfrac {7}{6 times 7} - dfrac {6}{6 times 7} = dfrac {7-6}{6 times 7} = dfrac {1}{6 times 7})
Từ bài toán trên, ta có công thức nhanh như sau (các em viết lại công thức vào vở và ghi nhớ vì chúng ta sẽ cần dùng đến nó tương đối nhiều trong các bài toán về phân số)
Bài 2: Tính phép tính sau: (A = dfrac {1}{1 times 2} + dfrac {1}{2 times 3} + dfrac {1}{3 times 4} + ... + dfrac {1}{2023 times 2024} )
Giải
Áp dụng công thức vừa học, ta có:
(dfrac {1}{1 times 2} = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2})
(dfrac {1}{2 times 3} = dfrac {1}{2} - dfrac {1}{3})
(dfrac {1}{3 times 4} = dfrac {1}{3} - dfrac {1}{4})
....
(dfrac {1}{2023 times 2024} = dfrac {1}{2023} - dfrac {1}{2024})
(Rightarrow A = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2} + dfrac {1}{2} - dfrac {1}{3} + dfrac {1}{3} - dfrac {1}{4} + ... + dfrac {1}{2023} - dfrac {1}{2024} A = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2024} = dfrac {2024 - 1}{1 times 2024} A = dfrac {2023}{2024}) (các cặp số âm dương tự triệt tiêu nhau)
Đáp số: (A = dfrac {2023}{2024})
Bài 3: Tính nhanh (B = dfrac {1}{2} + dfrac {1}{6} + dfrac {1}{12} + dfrac {1}{20} + ... + dfrac {1}{9900} )
Giải
Tương tự bài 2, ta có:
(B = dfrac {1}{2} + dfrac {1}{6} + dfrac {1}{12} + dfrac {1}{20} + ... + dfrac {1}{9900} )
(B = dfrac {1}{1 times 2} + dfrac {1}{2 times 3} + dfrac {1}{3 times 4} + dfrac {1}{4 times 5} + ... + dfrac {1}{99 times 100} )
(Rightarrow B = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2} + dfrac {1}{2} - dfrac {1}{3} + dfrac {1}{3} - dfrac {1}{4} + dfrac {1}{4} - dfrac {1}{5} + ... + dfrac {1}{99} - dfrac {1}{100} B = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{100} = dfrac {100 - 1}{1 times 100} B = dfrac {99}{100})
Đáp số: (B = dfrac {99}{100})
Bài 4: Tính nhanh (C = dfrac {2}{1 times 3} + dfrac {2}{3 times 5} + dfrac {2}{5 times 7} + ... + dfrac {2}{2023 times 2025} )
Giải
Nháp:
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
(dfrac {2}{1 times 3} = dfrac {3 - 1}{1 times 3} = dfrac {3}{1 times 3} - dfrac {1}{1 times 3} = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{3})
(dfrac {2}{3 times 5} = dfrac {5 - 3}{3 times 5} = dfrac {5}{3 times 5} - dfrac {3}{3 times 5} = dfrac {1}{3} - dfrac {1}{5})
...
(dfrac {2}{2023 times 2025} = dfrac {2025 - 2023}{2023 times 2025} = dfrac {2025}{2023 times 2025} - dfrac {2023}{2023 times 2025} = dfrac {1}{2023} - dfrac {1}{2025})
(Rightarrow C = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{3} + dfrac {1}{3} - dfrac {1}{5} + ... + dfrac {1}{2023} - dfrac {1}{2025} C = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2025} = dfrac {2025 - 1}{1 times 2025} C = dfrac {2024}{2025})
Đáp số: (C = dfrac {2024}{2025})
Qua bài toán trên, ta có công thức như sau (Công thức này cũng quan trọng như công thức trên, các em cần ghi ra vở nhớ và học thuộc lòng để giải quyết nhuần nhuyễn các dạng toán tương tự)
Bài 5: Tính nhanh (D = dfrac {3}{1 times 4} + dfrac {3}{4 times 7} + dfrac {3}{7 times 10} + ... + dfrac {3}{100 times 103} )
Giải
Tương tự các bài trên, ta có:
(D = dfrac {4-1}{1 times 4} + dfrac {7-4}{4 times 7} + dfrac {10-7}{7 times 10} + ... + dfrac {103-100}{100 times 103} )
(D = ( dfrac {4}{1 times 4} - dfrac {1}{1 times 4} ) + ( dfrac {7}{4 times 7} - dfrac {4}{4 times 7} ) + ( dfrac {10}{7 times 10} - dfrac {7}{7 times 10} ) + ... + ( dfrac {103}{100 times 103} - dfrac {100}{100 times 103} ) )
(D = ( dfrac {1}{1} - dfrac {1}{4} ) + ( dfrac {1}{4} - dfrac {1}{7} ) + ( dfrac {1}{7} - dfrac {1}{10} ) + ... + ( dfrac {1}{100} - dfrac {1}{103} ))
(D = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{4} + dfrac {1}{4} - dfrac {1}{7} + dfrac {1}{7} - dfrac {1}{10} + ... + dfrac {1}{100} - dfrac {1}{103} )
(D = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{103} )
(D = dfrac {102}{103})
Đáp số: (D = dfrac {102}{103})
Bài 6: Tính nhanh (E = dfrac {1}{1 times 5} + dfrac {1}{5 times 9} + dfrac {1}{9 times 13} + ... + dfrac {1}{101 times 105} )
Giải
Với bài toán này ta thấy có vẻ giống với bài 5 nhưng phần tử số lại bằng 1 chứ không bằng hiệu của mẫu số.
Ta giải bài toán này như sau:
Ta có:
5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = ... = 4
=> Ta cần làm xuất hiện số 4 ở tử số để bài toán trở về dạng tính nhanh
=> Ta cần nhân E lên 4 lần
Ta có:
(E times 4 = dfrac {4}{1 times 5} + dfrac {4}{5 times 9} + dfrac {4}{9 times 13} + ... + dfrac {4}{101 times 105} )
(E times 4 = dfrac {5-1}{1 times 5} + dfrac {9-5}{5 times 9} + dfrac {13-9}{9 times 13} + ... + dfrac {105-101}{101 times 105} )
(E times 4 = ( dfrac {1}{1} - dfrac {1}{5} ) + ( dfrac {1}{5} - dfrac {1}{9} ) + ( dfrac {1}{9} - dfrac {1}{13} ) + ... + ( dfrac {1}{101} - dfrac {1}{105} ))
(E times 4 = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{105} = dfrac {104}{105})
(E = dfrac {104}{105} : 4 = dfrac {26}{105})
Đáp số: (E = dfrac {26}{105})
Bài 7: Tính nhanh (F = dfrac {1}{1 times 4} + dfrac {1}{4 times 7} + dfrac {1}{7 times 10} + ... + dfrac {1}{100 times 103} )
Giải
Với bài này ta giải tương tự như bài 6
Ta có:
4 - 1 = 7 - 4 = 10 - 7 = ... = 103 - 100 = 3
=> Ta cần làm xuất hiện số 3 ở tử số để bài toán trở về dạng tính nhanh
=> Ta cần nhân F lên 3 lần
Tương tự bài 6 ta tính được:
(F times 3 = dfrac {3}{1 times 4} + dfrac {3}{4 times 7} + dfrac {3}{7 times 10} + ... + dfrac {3}{100 times 103} )
(F times 3 = dfrac {4-1}{1 times 4} + dfrac {7-4}{4 times 7} + dfrac {10-7}{7 times 10} + ... + dfrac {103-100}{100 times 103} )
(F times 3 = ( dfrac {1}{1} - dfrac {1}{4} ) + ( dfrac {1}{4} - dfrac {1}{7} ) + ( dfrac {1}{7} - dfrac {1}{10} ) + ... + ( dfrac {1}{100} - dfrac {1}{103} ))
(F times 3 = dfrac {1}{1} - dfrac {1}{103} = dfrac {102}{103})
(F = dfrac {102}{103} : 3 = dfrac {34}{103})
Đáp số: (F = dfrac {34}{103})
Bài 8: Tính nhanh (G = dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + dfrac {1}{16} + ... + dfrac {1}{1024} )
Giải
Cách 1 (Quy đồng - cách giải cồng kềnh nhất)
(G = dfrac {512}{1024} + dfrac {256}{1024} + dfrac {128}{1024} + dfrac {64}{1024} + dfrac {32}{1024} + dfrac {16}{1024} + dfrac {8}{1024} + dfrac {4}{1024} + dfrac {2}{1024} + dfrac {1}{1024} )
(G = dfrac {512 + 256 + 128 + ... + 4 + 2 + 1}{1024} = dfrac {1023}{1024} )
Cách 2: Nhận xét
Ta có:
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
....
(dfrac {1}{4} times 2 = dfrac {1}{2})
(dfrac {1}{8} times 2 = dfrac {1}{4})
....
Ta sẽ nhân G lên 2 lần
Ta có:
(G times 2 = ( dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + dfrac {1}{16} + ... + dfrac {1}{1024} ) times 2)
(G times 2 = 1 + dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + ... + dfrac {1}{512} )
Mà (G = dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + dfrac {1}{16} + ... + dfrac {1}{1024} )
(Rightarrow G times 2 - G = ( 1 + dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + ... + dfrac {1}{512} ) - ( dfrac {1}{2} + dfrac {1}{4} + dfrac {1}{8} + dfrac {1}{16} + ... + dfrac {1}{1024} )) (phá ngoặc triệt tiêu các phần tử giống nhau)
(Rightarrow G = 1 - dfrac {1}{1024} = dfrac {1023}{1024})
Cách 3:
Ta có:
(dfrac {1}{2} = 1 - dfrac {1}{2})
(dfrac {1}{4} = dfrac {1}{2} - dfrac {1}{4})
(dfrac {1}{8} = dfrac {1}{4} - dfrac {1}{8})
....
(dfrac {1}{1024} = dfrac {1}{512} - dfrac {1}{1024})
(Rightarrow G = ( 1 - dfrac {1}{2} ) + ( dfrac {1}{2} - dfrac {1}{4} ) + ( dfrac {1}{4} - dfrac {1}{8} ) + ... + ( dfrac {1}{512} - dfrac {1}{1024} ) )
(Rightarrow G = 1 - dfrac {1}{1024} = dfrac {1023}{1024})
Đáp số: (G = dfrac {1023}{1024})
Bài 9: Tính nhanh (H = dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + dfrac {1}{81} + dfrac {1}{243} + dfrac {1}{729} + dfrac {1}{2187})
Giải
Tương tự bài 8
Xét mẫu số, ta có
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
...
=> ta sẽ gấp tử số lên 3 lần
Ta có:
(H times 3 = ( dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + dfrac {1}{81} + dfrac {1}{243} + dfrac {1}{729} + dfrac {1}{2187} ) times 3)
(H times 3 = 1 + dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + ... + dfrac {1}{729} )
Mà (H = dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + dfrac {1}{81} + dfrac {1}{243} + dfrac {1}{729} + dfrac {1}{2187})
(Rightarrow H times 3 - H = ( 1 + dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + ... + dfrac {1}{729} ) - ( dfrac {1}{3} + dfrac {1}{9} + dfrac {1}{27} + ... + dfrac {1}{729} + dfrac {1}{2187} )) (phá ngoặc triệt tiêu các phần tử giống nhau)
(Rightarrow H times 2 = 1 - dfrac {1}{2187} = dfrac {2186}{2187})
(Rightarrow H = dfrac {2186}{2187} : 2 = dfrac {1093}{2187} )
Đáp số: (H = dfrac {1093}{2187} )
Bài 10: Tính nhanh (I = ( 1 + dfrac {2}{3} ) times ( 1 + dfrac {2}{4} ) times ( 1 + dfrac {2}{5} ) times ... times ( 1 + dfrac {2}{99} ) )
Giải
(I = dfrac {5}{3} times dfrac {6}{4} times dfrac {7}{5} times ... times dfrac {100}{98} times dfrac {101}{99}) (triệt tiêu các phần tử giống nhau ở tử và mẫu)
(Rightarrow I = dfrac {100 times 101}{3 times 4} = dfrac {25 times 101}{3} = dfrac {2525}{3})
Đáp số: (I = dfrac {2525}{3})
Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết: (( 1 + dfrac {1}{1} ) times ( 1 + dfrac {1}{2} ) times ( 1 + dfrac {1}{3} ) times ... times ( 1 + dfrac {1}{n} ) = 2070)
Giải
Phép tính trên trở thành
(dfrac {2}{1} times dfrac {3}{2} times dfrac {4}{3} times ... times dfrac {n+1}{n} = 2070)
(Rightarrow n + 1 = 2070 Rightarrow n = 2069)
Đáp số: (n = 2069)
Bài 12: Tìm n sao cho (dfrac {1}{1 times 2} + dfrac {1}{2 times 3} + dfrac {1}{3 times 4} + ... + dfrac {1}{n times (n+1)} = dfrac {2023}{2024})
Giải
Ta có phép tính trên trở thành:
(dfrac {1}{1} - dfrac {1}{2} + dfrac {1}{2} - dfrac {1}{3} + dfrac {1}{3} - dfrac {1}{4} + ... + dfrac {1}{n} - dfrac {1}{n+1} = dfrac {2023}{2024})
(Rightarrow dfrac {1}{1} - dfrac {1}{n+1} = dfrac {2023}{2024})
(Rightarrow dfrac {1}{n+1} = dfrac {1}{1} - dfrac {2023}{2024} = dfrac {1}{2024} )
(Rightarrow n + 1 = 2024 Rightarrow n = 2023 )
Đáp số: ( n = 2023)
Trên đây là một số bài toán hay về tính nhanh phân số kèm theo mẹo và cách giải chi tiết mà Hiếu đã tổng hợp lại trong quá trình giảng dạy. Các em học sinh hãy tiếp tục theo dõi Mathx để củng cố thêm vốn kiến thức toán học của bản thân nhé. Chúc các em học tốt!!
Quý phụ huynh và các em học sinh xem thêm một số bài viết về kiến thức toán nâng cao lớp 4 tại đây:
TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, 3, 5, 9
TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHIA TỈ LỆ
