Hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 (Lý thuyết Toán 8 Chân trời sáng tạo)

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Bài giảng: Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ - Cô Vương Hạnh (Giáo viên VietJack)

Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng, một hiệu

- Hai biểu thức (đại số) A và B có giá trị bằng nhau với bất kì giá trị nào của các biến thì ta nói hai biểu thức A và B bằng nhau hoặc đồng nhất với nhau.

Ta viết A = B, là một đồng nhất thức hoặc hằng đẳng thức.

- Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

Ví dụ 1.Tính:

a) (2x + y)2;

b) (3x2 - 2y)2.

Hướng dẫn giải.

a) (2x + y)2 = (2x)2 + 2 . 2x . y + y2 = 4x2 + 4xy + y2;

b) (3x2 - 2y)2 = (3x2)2 - 2 . 3x2 . 2y + (2y)2 = 9x4 - 12x2y + 4y2.

Ví dụ 2. Viết các biểu thức sau thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) x2 - 4xy + 4y2;

b) y2+y+14

Hướng dẫn giải

a) x2 - 4xy + 4y2

= x2 - 2 . x . 2y + (2y)2

= (x - 2y)2;

Ví dụ 3. Tính nhanh:

a) 992;

b) 1012.

Hướng dẫn giải

a) 992

= (100 - 1)2

= 1002 - 2 . 100 . 1 + 12

= 10 000 - 200 + 1

= 9801;

b) 1012

= (100 + 1)2

= 1002 + 2 . 100 . 1 + 12

= 10 000 + 200 + 1

= 10 201.

2. Hiệu của hai bình phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

Ví dụ 4.Thực hiện các phép nhân:

a) (x + 3)(x - 3).

b) (2x + y)(2x - y).

c) (x2 - 2y)(x2 + 2y).

Hướng dẫn giải.

a) (x + 3)(x - 3) = x2 - 32 = x2 - 9.

b) (2x + y)(2x - y) = (2x)2 - y2 = 4x2 - y2.

c) (x2 - 2y)(x2 + 2y) = (x2)2 - (2y)2 = x4 - 4y2.

Ví dụ 5. Tính nhanh:

a) 38 . 42;

b) 802 - 202.

Hướng dẫn giải

a) 38 . 42 = (40 - 2)(40 + 2) = 402 - 22 = 1 600 - 4 = 1 596;

b) 802 - 202 = (80 + 20)(80 - 20) = 100 . 60 = 6 000.

3. Lập phương của một tổng, một hiệu

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

Ví dụ 6.Tính:

b) (x + 3y)3.

a) (x - 5)3.

Hướng dẫn giải.

a) (x - 5)3

= x3 - 3 . x2 . 5 + 3 . x . 52 - 53

= x3 - 15x2 + 75x - 125.

b) (x + 3y)3

= x3 + 3 . x2 . 3y + 3 . x . (3y)2 + (3y)3

= x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3.

4. Tổng và hiệu của hai lập phương

Với hai biểu thức tùy ý A và B, ta có:

Ví dụ 7. Viết các đa thức sau dưới dạng tích:

a) x3 + 1;

b) y3 - 216.

Hướng dẫn giải.

a) x3 + 1 = x3 + 13

= (x + 1)(x2 - x . 1 + 12)

= (x + 1)(x2 - x + 1);

b) y3 - 216 = y3 - 63

= (y - 6)(y2 + y . 6 + 62)

= (y - 6)(y2 + 6y + 36).

Ví dụ 8. Tính

a) (2x + 3)(4x2 - 6x + 9);

b) (y - 5)(y2 + 5y + 25).

Hướng dẫn giải.

a) (2x + 3)(4x2 - 6x + 9)

= (2x + 3)[(2x)2 - 2x . 3 + 32]

= (2x)3 + 33

= 8x3 + 27;

b) (y - 5)(y2 + 5y + 25)

= (y - 5)(y2 + 5 . y + 52)

= y3 - 53

= y3 - 125.

Bài tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1.Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 7y)2;

b) (x - 5y)2;

c) (x - 3y)(x + 3y);

d) (2a - b)(4a2 + 2ab + b2);

e) (a - 2)(a2 + 4)(a + 2);

f) (a + 5b)(a2 + 5ab + 25b2);

g) (-x + y)3;

h) (-x - xy)3.

Hướng dẫn giải

a) (3x + 7y)2

= (3x)2 + 2 . 3x . 7y + (7y)2

= 9x2 + 42xy + 49y2;

b) (x - 5y)2

= x2 - 2 . x . 5 y + (5y)2

= x2 - 10xy + 25y2;

c) (x - 3y)(x + 3y)

= x2 - (3y)2

= x2 - 9y2.

d) (2a - b)(4a2 + 2ab + b2)

= (2a - b)[(2a)2 + 2a . b + b2]

= (2a - b)3;

e) (a - 2)(a2 + 4)(a + 2)

= [(a - 2)(a + 2)](a2 + 4)

= (a2 - 4)(a2 + 4)

= (a2)2 - 42

= a4 - 16;

f) (a + 5b)(a2 + 5ab + 25b2)

= (a + 5b)[a2 + a . 5b + (5b)2]

= (a + 5b)3.

g) (-x + y)3

= (-x)3 + 3.(-x)2y + 3(-x).y2 + y3

= -x3 + 3x2y - 3xy2 + y3.

h) (-x - xy)3

= (-x)3 - 3.(-x)2xy + 3.(-x).(xy)2 - (xy)3

= -x3 - 3x3y - 3x3y2 - x3y3.

Bài 2.Viết các biểu thức sau thành bình phương hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) 9x2 + 6x + 1;

b) 14x2+xy+y2

c) x3 - 3x2 + 3x - 1;

d) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3.

Hướng dẫn giải

a) 9x2 + 6x + 1

= (3x)2 + 2 . 3x . 1 + 12

= (3x + 1)2;

c) x3 - 3x2 + 3x - 1

= (x - 1)3;

d) x3 + 9x2y + 27xy2 + 27y3

= x3 + 3.x2.3y + 3.x.(3y)2 + (3y)3

= (x + 3y)3.

Bài 3.Tính nhanh:

a) 982;

b) 45 . 55;

c) 672 - 332.

Hướng dẫn giải

a) 982

= (100 - 2)2

= 1002 - 2 . 100 . 2 + 22

= 10 000 - 400 + 4

= 9 604;

b) 45 . 55

= (50 - 5)(50 + 5)

= 502 - 52

= 2 500 - 25

= 2 475;

c) 672 - 332

= (67 - 33)(67 + 33)

= 34 . 100

= 3 400.

Bài 4.Cho x + y = 3, xy = 10. Tính:

a) A = x3 + y3;

b) B = (x - y)2.

Hướng dẫn giải

a) A = x3 + y3

= (x + y)(x2 - xy + y2)

= (x + y)(x2 + 2xy + y2 - 3xy)

= (x + y)[(x + y)2 - 3xy]

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức A ta có

A = 3 . (32 - 3 . 10) = 3 . (9 - 30) = 3 . (-21) = -63.

b) B = (x - y)2

= x2 - 2xy + y2

= x2 + 2xy + y2 - 4xy

= (x + y)2 - 4xy

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức B ta có

B = 32 - 4 . 10 = 9 - 40 = -31.

Bài 5.Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 cm. Thể tích hình lập phương sẽ tăng bao nhiêu nếu các cạnh đều tăng a cm?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là

V = 3 . 3 . 3 = 27 (cm3)

Khi các cạnh đều tăng thêm a cm thì độ dài các cạnh của hình lập phương là3 + a (cm)

Thể tích hình lập phương mới là

V = (3 + a)(3 + a)(3 + a)

= (3 + a)3

= 33 + 3 . 32 . a + 3 . 3 . a2 + a3

= a3 + 9a2 + 27a + 27 (cm3)

Thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm là

a3 + 9a2 + 27a + 27 - 27 = a3 + 9a2 + 27a (cm3)

Vậy thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm a3 + 9a2 + 27a cm3.

Học tốt Hằng đẳng thức đáng nhớ

Các bài học để học tốt Hằng đẳng thức đáng nhớ Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

(199k) Xem Khóa học Toán 8 CTST

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 8 Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

• Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Phân thức đại số

• Lý thuyết Toán 8 Bài 6: Cộng, trừ phân thức

• Lý thuyết Toán 8 Bài 7: Nhân, chia phân thức

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 1

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)