[Toán trung học] Chứng minh rằng mọi phương trình bậc hai đều có thể phân tích thành các nhân tử tuyến tính.

Mình hiểu cách một phương trình bậc hai ở dạng nhân tử tuyến tính cho biết nghiệm của nó. Mình cũng hiểu rằng công thức nghiệm bậc hai có thể cho ra nghiệm phức của bất kỳ phương trình bậc hai nào ở dạng chuẩn.

Nhưng việc thay các nghiệm mình tìm ra (bằng cách áp dụng công thức nghiệm bậc hai vào một phương trình dạng chuẩn) vào (x-r1)(x-r2) rồi phân tích nó ra liệu có nhất thiết cho ra cùng phương trình dạng chuẩn mà mình đã áp dụng công thức nghiệm bậc hai không? Có vẻ như điểm chung duy nhất của chúng là nghiệm. Có cách nào để biểu diễn đỉnh parabol ở dạng nhân tử tuyến tính không?

Một hàm bậc hai có được xác định duy nhất bởi các nghiệm của nó không? Nếu có, tại sao? Mình không nghĩ vậy vì nếu đỉnh parabol gần với trục x và parabol rộng, nó có thể có cùng nghiệm với một đỉnh parabol ở xa hơn với parabol hẹp.

Nếu chúng không được xác định duy nhất bởi các nghiệm của chúng, làm sao mình có thể biết chắc rằng mọi phương trình bậc hai ở dạng chuẩn đều có thể phân tích thành các nhân tử tuyến tính mà không cần thử?

Ngoài ra, có trường hợp nào ở dạng nhân tử mà phải có hệ số trên các số hạng x không?

Sự nhầm lẫn đến từ việc đầu tiên được dạy các cách khác nhau để tìm nghiệm bằng cách phân tích và nhóm. Các phương trình mà các kỹ thuật này có hiệu quả có thể dễ dàng được đưa vào dạng nhân tử tuyến tính.

Các kỹ thuật hoàn thành bình phương và công thức nghiệm bậc hai được giới thiệu như những cách tìm nghiệm khi chúng không thể dễ dàng đưa vào dạng nhân tử tuyến tính. Hoàn thành bình phương dẫn đến dạng đỉnh và công thức nghiệm bậc hai tương tự như hoàn thành bình phương.

Tuy nhiên mình nghe ở nơi khác rằng bất kỳ phương trình đa thức nào cũng có thể được viết ở dạng nhân tử tuyến tính. Nếu không có cách dễ dàng để chuyển từ dạng đỉnh sang dạng nhân tử tuyến tính, làm sao mình có thể biết điều đó đối với các phương trình bậc hai cần hoàn thành bình phương hoặc công thức nghiệm bậc hai?