Bài 6: Hệ Thức Vi-Et Và Ứng Dụng

1. Hệ thức Vi-et

Các em đã biết phương trình có hai nghiệm thì dù đó là nghiệm kép hay hai nghiệm phân biệt, ta đều viết các nghiệm dưới dạng

Khi đó ta có:

Như vậy, các em đã thấy được sự liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai (nếu có) với các hệ số của nó. Điều này đã được nhà toán học Vi - ét (người Pháp) phát hiện vào đầu thế kỷ thứ XVII, với định lý mang tên ông.

Định lý Vi-et:

Nếu là hai nghiệm của phương trình thì

Ví dụ 1: Cho phương trình

a) Xác định các hệ số a, b, c và tính a + b + c.

b) Chứng tỏ phương trình có một nghiệm .

c) Dùng định lý Vi - ét để tìm nghiệm.

Giải:

a) Ta có

b) Thay vào phương trình đã cho ta được: ( luôn đúng )

Vậy là một nghiệm của phương trình đã cho.

c) Áp dụng hệ thức Vi - ét vào phương trình đã cho ta được:

mà nên

Tổng quát:

Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia

Ví dụ 2: Cho phương trình

a) Xác định các hệ số a, b, c và tính a - b + c.

b) Chứng tỏ phương trình có một nghiệm.

c) Dùng định lý Vi - ét để tìm nghiệm.

Giải:

a) Ta có

b) Thay vào phương trình đã cho ta được:

(luôn đúng)

Vậy là một nghiệm của phương trình đã cho.

c) Áp dụng hệ thức Vi - ét vào phương trình đã cho ta được:

mà nên

Tổng quát:

Nếu phương trình có thì phương trình có một nghiệm còn nghiệm kia

Ví dụ 3: Giải phương trình:

a)

b)

Giải:

a) Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm và

b) Ta có

Vậy phương trình có hai nghiệm và

2. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Xét bài toán tìm hai số có tổng bằng S và tích bằng P

Giải:

Gọi số thứ nhất là x thì số kia là S - x.

Theo đề ta có phương trình

Nếu thì phương trình (*) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm.

Ví dụ 4: Tìm hai số biết:

a) Tổng của chúng bằng 27 và tích bằng -28.

b) Tổng bằng -2021 và tích bằng -2022.

Giải:

a) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình

Ta có nên phương trình có hai nghiệm và

Vậy hai số cần tìm là -1 và 28.

b) Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình

Ta có nên phương trình có hai nghiệm và

Vậy hai số cần tìm là 1 và -2022.

Giáo viên soạn: Mai Văn Tuấn

Đơn vị: Trường TH - THCS - THPT Lê Thánh Tông