Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán THCS. Vì vậy, bài viết này sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp về vấn đề phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu nhé.
1. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi nào?
Phương trình bậc hai một ẩn số có dạng: ax2 + bx +c = 0 (a 0); biệt thức = b2 - 4ac.
Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
Trong trường hợp b = 2b' ta có thể dùng ' = b'2 - ac; khi đó:
Nếu ' > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 =
2. Các dạng toán chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt
2.1. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) x2 - 4x + 3 = 0
b) -2x2 + x + 3 = 0
c) 3x2 + 6x = 0
d) -x2 + 4 = 0
ĐÁP ÁNa) Cách 1: x2 - 4x + 3 = 0 ( a = 1; b = -4; c = 3)
Ta có : = b2 - 4ac = (-4)2 - 4.1.3 = 4 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = ; x2 = = 1
Cách 2: x2 - 4x + 3 = 0 ( a = 1; b' = -2; c = 3)
Ta có: ' = b'2 - ac = (-2)2- 1.3 = 1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 3; x2 = = 1
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
b) -2x2 + x + 3 = 0 ( a = -2; b = 1; c = 3)
Ta có: = b2 - 4ac = 12 - 4.(-2).3 =25 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = -1; x2 = =
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
c) 3x2 + 6x = 0 ( a = 3; b = 6; c = 0)
Ta có: = b2 - 4ac = 62 - 4.3.0 = 36 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 0; x2 = = -2
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
d) -x2 + 4 = 0 ( a = -1; b = 0; c = 4)
Ta có: = b2 - 4ac = 02 - 4.(-1).4 = 16 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = -2; x2 = = 2;
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x2 - 5x + 6 = 0
b) 2x2 - 2x -12 = 0
c) -5x2 + 10x = 0
d) x2 - 9 = 0
ĐÁP ÁNa) x2 - 5x + 6 = 0 ( a = 1; b = -5; c = 6)
Ta có: = b2 - 4ac = (-5)2 - 4.1.6 = 1 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 3; x2 = = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
b) 2x2 - 2x -12 = 0 ( a = 2; b' = -1; c = -12)
Ta có: ' = b'2 - ac = (-1)2- 2. (-12) = 25 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 3; x2 = = -2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
c) -5x2 + 10x = 0 ( a = -5; b = 10; c = 0)
Ta có: = b2 - 4ac = 102 - 4.(-5).0 = 100 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 0 ; x2 = = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
d) x2 - 9 = 0 ( a = 1; b = 0 ; c = -9)
Ta có: = b2 - 4ac = 02 - 4.1.(-9) = 36 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 = = 3; x2 = = -3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
2.2. Dạng 2: Tìm m thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải: Sử dụng lý thuyết phương trình có 2 nghiệm phân biệt
Bài 1: Cho phương trình: x2 - ( m+2)x + m = 0 (1)
a) Tìm m biết rằng phương trình (1) nhận x = 2 là một nghiệm
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
ĐÁP ÁNa) Vì phương trình nhận x = 2 là một nghiệm nên:
22 - ( m+2).2 + m = 0
4 - 2m - 4 + m = 0
-m = 0
m = 0
b) x2 - ( m+2)x + m = 0 ( a = 1; b = -(m+2) ; c = m)
Ta có:
= b2 - 4ac = [ - (m+2)]2 - 4.1.m = m2 + 4m + 4 - 4m = m2 + 4
Vì m2 0 với mọi m nên m2 + 4 > 0 với mọi m
Do đó > 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài 2: Tìm m để phương trình 2x2 - 6x + m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
ĐÁP ÁNTa có: 2x2 - 6x + m + 7 = 0 ( a = 2 ; b = -6 ; c = m+7)
= b2 - 4ac = (-6)2 - 4.2.(m+7) = 36 - 8m - 56 = 20 - 8m
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
> 0 20 - 8m > 0 -8m > -20 m < 2,5
Vậy m < 2,5 thì phương trình: 2x2 - 6x + m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 3: Tìm m để phương trình mx2 - 2(m-2)x + m + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
ĐÁP ÁNTa có: mx2 - 2(m-2)x + m + 2 = 0 ( a = m ; b' = -(m - 2) ; c = m + 2)
' = b'2 - ac = [ - (m-2)]2 - m.(m+2) = m2 - 4m + 4 - m2 -2m = -6m + 4
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:
Vậy m 0 và m < thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Trên đây là những dạng toán cơ bản liên quan đến nội dung phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Với chuyên đề này hy vọng sẽ giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn, chuẩn bị tốt hành trang cho kì thi tuyển sinh vào 10 sắp tới. Chúc các bạn học tập tốt!
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
