- Cổng thông tin Vật lý
- Thể loại
Trong cơ học cổ điển, một dao động điều hòa là một hệ mà khi bị chuyển dời khỏi vị trí cân bằng, hệ đó chịu tác dụng của lực kéo về F có độ lớn tỉ lệ thuận với độ lớn li độ x: F → = − k x → , {displaystyle {vec {F}}=-k{vec {x}},} với k là một hằng số dương.
Mô hình dao động điều hòa là một mô hình quan trọng trong vật lý, vì mọi vật thể trong trạng thái cân bằng ổn định đều trở thành hệ dao động điều hòa khi xét các rung động nhỏ. Dao động điều hòa xảy ra phổ biến trong tự nhiên và được khai thác trong nhiều thiết bị nhân tạo, như đồng hồ và mạch radio.
Nếu F là lực duy nhất tác dụng lên hệ, hệ được gọi là một dao động điều hòa đơn giản, và chịu ảnh hưởng của chuyển động điều hòa đơn giản: dao động hình sin xung quanh vị trí cân bằng, với một biên độ không đổi và một tần số không đổi (không phụ thuộc vào biên độ).
Nếu cũng có mặt một lực ma sát tỉ lệ thuận với vận tốc, dao động điều hòa được gọi là dao động tắt dần. Tùy vào hệ số ma sát, hệ này có thể:
- Dao động với một tần số nhỏ hơn so với trường hợp không tắt dần, và một biên độ giảm dần theo thời gian (dao động tắt dần chậm).
- Trở về vị trí cân bằng mà không dao động (dao động tắt dần nhanh).
Nếu có mặt một ngoại lực phụ thuộc thời gian, dao động điều hòa được gọi là dao động cưỡng bức.
Ví dụ cơ học về dao động điều hòa bao gồm con lắc (xét biên độ góc nhỏ), quả nặng nối với lò xo, và hệ thống âm thanh. Các hệ thống tương tự bao gồm các mạch dao động điều hòa như mạch điện RLC.
Một dao động điều hòa đơn giản là một dao động điều hòa không tắt dần và không cưỡng bức. Hệ dao động điều hòa đơn giản gồm một khối lượng m {displaystyle m} , chịu tác dụng của một lực F {displaystyle F} , kéo vật nặng về hướng của điểm x = 0 {displaystyle x=0} và chỉ phụ thuộc vào li độ x {displaystyle x} của vật nặng và một hằng số k {displaystyle k} . Phương trình cân bằng lực (định luật II Newton) của hệ là F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = − k x . {displaystyle F=ma=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=m{ddot {x}}=-kx.}
Giải phương trình vi phân trên, suy ra dao động điều hòa được mô tả bởi hàm số x ( t ) = A sin ( ω t + φ ) , {displaystyle x(t)=Asin(omega t+varphi ),} với ω = k m . {displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}.}
Chuyển động này là tuần hoàn, tự lặp lại theo hình sin với biên độ không đổi A. Ngoài biên độ, chuyển động của một dao động điều hòa đơn giản cũng được đặc trưng bởi chu kỳ T = 2 π / ω {displaystyle T=2pi /omega } , là thời gian của một dao động toàn phần, hoặc đặc trưng bởi tần số f = 1 / T {displaystyle f=1/T} , số dao động toàn phần trên một đơn vị thời gian. Vị trí tại một thời điểm t cũng phụ thuộc vào pha φ {displaystyle varphi } , đại lượng xác định điểm bắt đầu của đường hình sin. Chu kỳ và tần số phụ thuộc vào khối lượng của vật nặng m và hằng số k, trong khi biên độ và pha được xác định bởi vị trí và vận tốc ban đầu.
Vận tốc và gia tốc của một dao động điều hòa đơn giản dao động với cùng tần số so với li độ, tuy nhiên chúng lệch pha nhau. Li độ bằng không ứng với độ lớn vận tốc cực đại, trong khi đó gia tốc ngược hướng với li độ.
Thế năng của một hệ dao động điều hòa đơn giản tại li độ x là U = 1 2 k x 2 . {displaystyle U={tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
Trong các hệ dao động thực tế, ma sát hoặc suy giảm năng lượng làm chậm chuyển động của hệ. Do lực ma sát, vận tốc giảm tỉ lệ với lực ma sát tác dụng lên hệ. Khác với một hệ dao động điều hòa đơn giản không cưỡng bức, trong đó lực duy nhất tác dụng lên vật nặng là lực kéo về, ở một hệ dao động điều hòa tắt dần, có thêm một lực ma sát luôn có hướng ngược với hướng chuyển động. Trong nhiều hệ rung, lực ma sát Ff có thể được mô hình hóa là tỉ lệ với vận tốc v của vật: Ff = −cv, trong đó c được gọi là hệ số suy giảm nhớt.
Phương trình cân bằng lực (định luật II Newton) của hệ dao động điều hòa tắt dần khi đó là[1][2][3] F = − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 , {displaystyle F=-kx-c{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}},} và có thể được viết lại thành d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 0 , {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega _{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x=0,} với
- ω 0 = k m {textstyle omega _{0}={sqrt {frac {k}{m}}}} được gọi là "tần số góc không tắt dần của dao động",
- ζ = c 2 m k {textstyle zeta ={frac {c}{2{sqrt {mk}}}}} được gọi là "hệ số tắt dần".
Dao động điều hòa cưỡng bức là các dao động tắt dần bị ảnh hưởng bởi một ngoại lực F(t) ngoài ma sát.
Định luật II Newton khi đó có dạng F ( t ) − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 . {displaystyle F(t)-kx-c{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}.}
Phương trình trên cũng thường được viết lại thành d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = F ( t ) m . {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega _{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x={frac {F(t)}{m}}.}
Phương trình trên có thể giải chính xác với mọi lực cưỡng bức, bằng các nghiệm z(t) thỏa mãn phương trình phi cưỡng bức d 2 z d t 2 + 2 ζ ω 0 d z d t + ω 0 2 z = 0 , {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}z}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega _{0}{frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}z=0,}
và có thể được biểu diễn thành các dao động hình sin tắt dần: z ( t ) = A e − ζ ω 0 t sin ( 1 − ζ 2 ω 0 t + φ ) , {displaystyle z(t)=Ae^{-zeta omega _{0}t}sin left({sqrt {1-zeta ^{2}}}omega _{0}t+varphi right),} trong trường hợp ζ ≤ 1. Biên độ A và pha φ quyết định hành vi của hệ để khớp với các điều kiện ban đầu.
Trong trường hợp lực cưỡng bức biến đổi theo dạng hình sin: d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 1 m F 0 sin ( ω t ) , {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega _{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x={frac {1}{m}}F_{0}sin(omega t),} với F 0 {displaystyle F_{0}} là biên độ cưỡng bức, and ω {displaystyle omega } là tần số cưỡng bức frequency cho một cơ chế cưỡng bức hình sin. Hệ dao động dạng này xuất hiện trong các mạch điện RLC cưỡng bức bởi dòng điện xoay chiều, và các hệ lò xo cưỡng bức có sức cản vật liệu bên trong hoặc lực cản không khí bên ngoài.
Nghiệm tổng quát là tổng của nghiệm quá độ phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, và trạng thái dừng độc lập với điều kiện ban đầu và chỉ phụ thuộc vào biên độ cưỡng bức F 0 {displaystyle F_{0}} , tần số cưỡng bức ω {displaystyle omega } , tần số góc không tắt dần ω 0 {displaystyle omega _{0}} , và hệ số tắt dần ζ {displaystyle zeta } .
Nghiệm trạng thái dừng tỉ lệ với lực cưỡng bức, với sự cưỡng bức thay đổi pha φ {displaystyle varphi } : x ( t ) = F 0 m Z m ω sin ( ω t + φ ) , {displaystyle x(t)={frac {F_{0}}{mZ_{m}omega }}sin(omega t+varphi ),} với Z m = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 {displaystyle Z_{m}={sqrt {left(2omega _{0}zeta right)^{2}+{frac {1}{omega ^{2}}}(omega _{0}^{2}-omega ^{2})^{2}}}} là giá trị tuyệt đối của trở kháng cơ học hoặc hàm phản hồi tuyến tính, và φ = arctan ( 2 ω ω 0 ζ ω 2 − ω 0 2 ) + n π {displaystyle varphi =arctan left({frac {2omega omega _{0}zeta }{omega ^{2}-omega _{0}^{2}}}right)+npi }
là pha của dao động so với lực cưỡng bức. Giá trị của pha thường nằm giữa −180° và 0 (giá trị này biểu diễn sự trễ pha, cho cả giá trị dương và âm của đối số hàm arctan).
Đối với một tần số cưỡng bức cụ thể gọi là tần số cộng hưởng ω r = ω 0 1 − 2 ζ 2 {textstyle omega _{r}=omega _{0}{sqrt {1-2zeta ^{2}}}} , biên độ (đối với F 0 {displaystyle F_{0}} đã biết nào đó) đạt giá trị lớn nhất. Hiệu ứng cộng hưởng này chỉ xảy ra khi ζ < 1 / 2 {displaystyle zeta <1/{sqrt {2}}} , ví dụ như đối với các hệ tắt dần rất chậm. Đối với các hệ tắt dần rất chậm, giá trị của biên độ có thể rất lớn gần tần số cộng hưởng.
Các nghiệm quá độ của trường hợp này giống với của hệ dao động điều hòa tắt dần không cưỡng bức ( F 0 = 0 {displaystyle F_{0}=0} ) và biểu diễn phản hồi của hệ trước các sự kiện xảy ra trước đó.
Một dao động tham số là một dao động điều hòa cưỡng bức trong đó năng lượng dẫn động được cung cấp bằng cách thay đổi các tham số của dao động, như lực cản hoặc lực kéo về. Một ví dụ quen thuộc của dao động tham số là hành động "nhún" xích đu trên sân chơi.[4][5][6] Một người trên xích đu đang chuyển động có thể tăng biên độ dao động của xích đu mà không cần tác dụng ngoại lực (như đẩy), bằng cách thay đổi mô men quán tính của xích đu bằng cách nhún đi nhún lại hoặc đứng lên ngồi xuống cùng nhịp với dao động của xích đu. Sự thay đổi tham số này cưỡng bức hệ dao động. Ví dụ về các tham số có thể thay đổi của một hệ là tần số cộng hưởng ω {displaystyle omega } và hệ số tắt dần β {displaystyle beta } .
Dao động tham số có rất nhiều ứng dụng. Nguyên lý varicap cổ điển là một hệ dao động tham số dao động khi điện dung của diode được biến đổi theo chu kỳ. Mạch điện biến đổi điện dung của diode được gọi là "mạch bơm" hoặc "mạch kích". Trong điện tử vi sóng, các hệ dao động tham số dựa trên ống dẫn sóng điện từ hoặc ytri nhôm lựu bảo cũng hoạt động với cùng nguyên lý. Người thiết kế biến đổi một tham số theo chu kỳ nhất định để kích thích dao động.
Các hệ dao động tham số đã được phát triển thành các bộ khuếch đại ít nhiễu, đặc biệt là trong dải sóng vô tuyến và vi sóng. Vì điện kháng (thay vì điện trở) được thay đổi, nhiễu nhiệt xảy ra ít. Một ứng dụng phổ biến khác là việc biến tần, như biến đổi từ tần số âm thanh sang vô tuyến. Ví dụ, bộ dao dộng tham số quang học biến đổi đầu vào là sóng laser thành hai sóng đầu ra với tần số thấp hơn ( ω s , ω i {displaystyle omega _{s},omega _{i}} ).
Cộng hưởng tham số xảy ra trong một hệ cơ học khi hệ được kích thích tham số và dao động ở một trong các tần số cộng hưởng của nó. Sự kích thích tham số và sự cưỡng bức là khác nhau, do tác dụng của nó xuất hiện trên một tham số của hệ dưới dạng thay đổi biến thiên theo thời gian của tham số. Hiệu ứng này khác với cưỡng bức thông thường vì nó thể hiện hiện tượng bất ổn định.
Các hệ dao động điều hòa có mặt ở một số lĩnh vực kỹ thuật là tương đương từ việc mô hình toán học của chúng giống nhau. Dưới đây là bảng thể hiện các đại lượng tương tự nhau ở bốn hệ dao động điều hòa trong cơ học và điện tử. Nếu các đại lượng tương tự nhau ở cùng một dòng trong bảng được cung cấp các giá trị số bằng nhau, hành vi của các hệ dao động - sóng đầu ra của chúng, tần số cộng hướng, hệ số tắt dần, v.v - sẽ giống nhau.
Cơ học tịnh tiến Cơ học quay Mạch RLC mắc nối tiếp Mạch RLC mắc song song Li độ x {displaystyle x} Góc θ {displaystyle theta } Điện tích q {displaystyle q} Từ thông móc vòng φ {displaystyle varphi } Vận tốc d x d t {displaystyle {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}} Vận tốc góc d θ d t {displaystyle {frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}} Cường độ dòng điện d q d t {displaystyle {frac {mathrm {d} q}{mathrm {d} t}}} Hiệu điện thế d φ d t {displaystyle {frac {mathrm {d} varphi }{mathrm {d} t}}} Khối lượng m {displaystyle m} Mô men quán tính I {displaystyle I} Điện cảm L {displaystyle L} Điện dung C {displaystyle C} Động lượng p {displaystyle p} Mô men động lượng L {displaystyle L} Từ thông móc vòng φ {displaystyle varphi } Điện tích q {displaystyle q} Hệ số đàn hồi k {displaystyle k} Hệ số xoắn μ {displaystyle mu } Độ nghịch đảo điện dung 1 / C {displaystyle 1/C} Từ trở 1 / L {displaystyle 1/L} Hệ số tắt dần c {displaystyle c} Ma sát quay Γ {displaystyle Gamma } Điện trở R {displaystyle R} Điện dẫn G = 1 / R {displaystyle G=1/R} Lực cưỡng bức F ( t ) {displaystyle F(t)} Mô men lực cưỡng bức τ ( t ) {displaystyle tau (t)} Điện thế v {displaystyle v} Cường độ dòng điện i {displaystyle i} Tần số cộng hưởng không cưỡng bức f n {displaystyle f_{n}} : 1 2 π k m {displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {k}{m}}}} 1 2 π μ I {displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {mu }{I}}}} 1 2 π 1 L C {displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {1}{LC}}}} 1 2 π 1 L C {displaystyle {frac {1}{2pi }}{sqrt {frac {1}{LC}}}} Hệ số tắt dần ζ {displaystyle zeta } : c 2 1 k m {displaystyle {frac {c}{2}}{sqrt {frac {1}{km}}}} Γ 2 1 I μ {displaystyle {frac {Gamma }{2}}{sqrt {frac {1}{Imu }}}} R 2 C L {displaystyle {frac {R}{2}}{sqrt {frac {C}{L}}}} G 2 L C {displaystyle {frac {G}{2}}{sqrt {frac {L}{C}}}} Phương trình vi phân: m x ¨ + c x ˙ + k x = F {displaystyle m{ddot {x}}+c{dot {x}}+kx=F} I θ ¨ + Γ θ ˙ + μ θ = τ {displaystyle I{ddot {theta }}+Gamma {dot {theta }}+mu theta =tau } L q ¨ + R q ˙ + q / C = v {displaystyle L{ddot {q}}+R{dot {q}}+q/C=v} C φ ¨ + G φ ˙ + φ / L = i {displaystyle C{ddot {varphi }}+G{dot {varphi }}+varphi /L=i}Bài toán về dao động điều hòa đơn giản có mặt thường xuyên trong vật lý, vì một vật nặng ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của lực bảo toàn bất kì, khi xét các chuyển động nhỏ, đều giống như một hệ dao động điều hòa đơn giản.
Một lực bảo toàn là lực có liên quan đến thế năng. Hàm thế năng của một hệ dao động điều hòa là V ( x ) = 1 2 k x 2 . {displaystyle V(x)={tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
Cho một hàm thế năng bất kì V ( x ) {displaystyle V(x)} , có thể khai triển Taylor theo x {displaystyle x} quanh một điểm cực tiểu năng lượng ( x = x 0 {displaystyle x=x_{0}} ) để mô hình hóa hành vi của hệ đối với các biến động nhỏ quanh vị trí cân bằng.
V ( x ) = V ( x 0 ) + V ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + 1 2 V ″ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 . {displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})cdot (x-x_{0})+{tfrac {1}{2}}V''(x_{0})cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
Vì V ( x 0 ) {displaystyle V(x_{0})} là một điểm cực tiểu, đạo hàm bậc một của nó tại x 0 {displaystyle x_{0}} phải bằng không, nên hạng tử bậc nhất triệt tiêu: V ( x ) = V ( x 0 ) + 1 2 V ″ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 . {displaystyle V(x)=V(x_{0})+{tfrac {1}{2}}V''(x_{0})cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
Hạng tử tự do V(x0) là một hằng số bất kì và có thể loại bỏ, và phương trình dạng dao động điều hòa đơn giản có thể thu được qua một phép chuyển đổi tọa độ: V ( x ) ≈ 1 2 V ″ ( 0 ) ⋅ x 2 = 1 2 k x 2 . {displaystyle V(x)approx {tfrac {1}{2}}V''(0)cdot x^{2}={tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
Vì vậy, khi cho trước một hàm thế năng V ( x ) {displaystyle V(x)} bất kì với đạo hàm bậc hai khác không, có thể dùng nghiệm của dao động điều hòa đơn giản để xấp xỉ nghiệm đối với các biến động nhỏ quanh vị trí cân bằng.
Giả sử dao động không tắt dần, phương trình vi phân của một con lắc đơn có độ dài l {displaystyle l} , với g {displaystyle g} là gia tốc trọng trường cục bộ, là
d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}sin theta =0.}Nếu li độ cực đại của con lắc nhỏ, có thể coi sin θ ≈ θ {displaystyle sin theta approx theta } và thay vào đó xét phương trình sau:
d 2 θ d t 2 + g l θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}theta =0.}Nghiệm chung cho phương trình vi phân này là
θ ( t ) = A cos ( g l t + φ ) , {displaystyle theta (t)=Acos left({sqrt {frac {g}{l}}}t+varphi right),}với A {displaystyle A} và φ {displaystyle varphi } là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Sử dụng điều kiện ban đầu θ ( 0 ) = θ 0 {displaystyle theta (0)=theta _{0}} và θ ˙ ( 0 ) = 0 {displaystyle {dot {theta }}(0)=0} , nghiệm này được cho bởi
θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t ) , {displaystyle theta (t)=theta _{0}cos left({sqrt {frac {g}{l}}}tright),}với θ 0 {displaystyle theta _{0}} là góc lớn nhất mà con lắc có thể đạt tới (tức là, θ 0 {displaystyle theta _{0}} là biên độ góc của con lắc). Chu kì, hay thời gian để hoàn thành một dao động toàn phần, được cho bởi công thức
τ = 2 π l g = 2 π ω , {displaystyle tau =2pi {sqrt {frac {l}{g}}}={frac {2pi }{omega }},}khá chính xác khi được dùng để tỉnh xấp xỉ chu kì thực sự khi θ 0 {displaystyle theta _{0}} nhỏ. Lưu ý rằng giá trị xấp xỉ chu kì τ {displaystyle tau } không phụ thuộc vào biên độ góc θ 0 {displaystyle theta _{0}} .
Kí hiệu Định nghĩa Thứ nguyên Đơn vị SI a {displaystyle a} Gia tốc của khối lượng L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 A {displaystyle A} Biên độ dao động L {displaystyle mathbf {L} } m c {displaystyle c} Hệ số tắt dần nhớt M T − 1 {displaystyle mathbf {MT^{-1}} } N·s/m f {displaystyle f} Tần số T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } Hz F {displaystyle F} Lực tác động M L T − 2 {displaystyle mathbf {MLT^{-2}} } N g {displaystyle g} Gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái Đất L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 i {displaystyle i} Số ảo, i 2 = − 1 {displaystyle i^{2}=-1} — — k {displaystyle k} Hệ số lò xo (theo Định luật Hooke) M T − 2 {displaystyle mathbf {MT^{-2}} } N/m m , M {displaystyle m,M} Khối lượng M {displaystyle mathbf {M} } kg Q {displaystyle Q} Quality factor — — T {displaystyle T} Chu kì dao động T {displaystyle mathbf {T} } s t {displaystyle t} Thời gian T {displaystyle mathbf {T} } s W t {displaystyle W_{t}} Thế năng của dao động M L 2 T − 2 {displaystyle mathbf {ML^{2}T^{-2}} } J x {displaystyle x} Li độ L {displaystyle mathbf {L} } m ζ {displaystyle zeta } Tốc độ tắt dần — — φ {displaystyle varphi } Pha ban đầu — rad ω {displaystyle omega } Tần số góc T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s ω 0 {displaystyle omega _{0}} Tần số góc vang tự nhiên T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s- Dao động tử điều hoà
- Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Analytic Mechanics (ấn bản thứ 5), Fort Worth: Saunders College Publishing, ISBN 0-03-96746-5, LCCN 93085193{{Chú thích}}: Quản lý CS1: lỗi ISBN bị bỏ qua (liên kết)
- Hayek, Sabih I. (ngày 15 tháng 4 năm 2003). "Mechanical Vibration and Damping". Encyclopedia of Applied Physics. WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi:10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
- Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (ấn bản thứ 3), New York: Wiley, ISBN 0-471-50728-8
- Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
- Tipler, Paul (1998). Physics for Scientists and Engineers: Vol. 1 (ấn bản thứ 4). W. H. Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
- Wylie, C. R. (1975). Advanced Engineering Mathematics (ấn bản thứ 4). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.
- The Harmonic Oscillator trong cuốn The Feynman Lectures on Physics
